新初三学生和家长们，如何利用这个暑假准备2022年北京高考数学？
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2021年北京高中入学考试数学试卷中的难点分析
高考的关键决定了一张试卷的难度，决定了考生的考试节奏和最终分数。
以2021年北京的中考数学为例，试卷中的第8题（选择题最后一道题）、第16题（填空题最后一道题）、第22题（平四综合）、第23题（函数小综合）、第24题（圆综）、第26题（二次函数压轴题）、第27题（几综压轴题）、第28题（新定义类函数动态压轴题），这8道题就是本次数学考试的关键题型，同学们在考试过程中可能被“卡住”的地方也主要集中在这几道题上。
接下来，我们对这8道题做一下简单的逐题分析。
01
第8题——选择题最后一题
第8题，选择题最后一道题，答案选A。这道题比较简单，考察实际问题中函数图像的关系，和2020年出题方式基本一致，但是与2019及以前的出题方式不一样。下题为2020年北京中考数学第8题。
2019年及以前，选择最后一题的变化性还是很多的，2019年考的数据的整理与分析，2018年考的地图上的坐标表示，2017年考的概率的分析……那么2020和2021年的这种考察方式会否继续固定下来，至少2022年继续沿用，如果真的如此，那么这道题基本上也可以归入“白给”题的行列了。
02
第16题——填空题最后一题
第16题，选择题最后一道题，答案第一个是2:3，第二个是1/2。这道题有点类似于小学奥数题（跟去年一样），需要用到设而不求的方法来处理条件。同时，这道题虽然是实际生活的应用题，但是出题的条件却跟我们一般对加工材料问题的理解不太一样。在绝大部分学生的常识理解中，流水线加工材料的速度应该是一样的，无论多少材料，每小时加工的量应该是一个定值，但这道题很显然，加工的速度要随着加工总量的变化而变化，在做题时，一定要注意根据题目要求来理解，避免掉入这个“坑”里。
03
第22题——四边形小综合
第22题，四边形小综合，第（2）问，BF=4，AD=3，就是3/4/5的一组勾股数。每年考试都会出一道四边形的综合类试题，第一问求证一个特殊的四边形，第二问结合三角函数、勾股定理、甚至相似，求线段的长度。今年的这道题，难度相对较低，连辅助线都不用做，而且两步出结果，基本不用花什么时间思考和写过程，基本“白给”。
04
第23题——一次函数综合
第23题，一次函数的综合题，第（2）问m的取值范围是1/2《m《1。明确两个临界状态的位置即可，如下图所示：
这道题高仿2020年的这道函数小综合的题目，如下：
对比这两道题来看，除了换了个数字，基本上没有任何区别。2019年之前，这道题广为人知的名字叫“一反综合”，往往是考察反比例函数与一次函数的综合类问题，有一定的难度，而且今年大部分区一模、二模做的函数综合题也还是做的“一反综合”，而今年中考直接从这道题中删去了反比例函数的知识，单纯考察一次函数的内容，难度直接降低了不止一个层次。这种出题的方式未来（或者说明年）是否会继续沿用，仍然存疑，不过如果真的以后都是如此，那这道题也可以直接变成“白给题”了。
05
第24题——圆综
第24题，圆综，第（2）问，CG=6，OF=25/11。这道题相比去年可能还要更简单一些，连辅助线都不用做，直接利用一个相似就能解决问题。相信今年圆综应该不会成为很多同学的“卡壳”的地方。
06
第26题——二次函数压轴题
第26题，二次函数的压轴题，第二问利用数形结合的方法可以很快出结果，但是写过程的时候最好还是使用代数的方法来说明。最后的结果是y2<y1<y3。
这道题跟2020年的二次函数压轴题（如上图）出题方式比较类似，都是对称轴+比较函数值大小的问题，但是又有所区别。这类问题在2020年中考之前，一般在选择、填空题中出现的次数比较多，也不需要详细的过程说明，只需要进行大小判定即可。同样类型的问题，从选择、填空题，放入二次函数的代综压轴题，肉眼可见的下降了二次函数压轴题的难度。往年选择、填空的类似问题，简单举几个例子如下：
07
第27题——几综压轴题
第27题，几何综合的压轴题，主要围绕中点、角平分线来进行全等或相似的构造，从而解决问题。这道题难度适中，算是中规中矩，比2020年的题稍难。鉴于明天会发布一篇关于本题的视频讲解（欢迎订阅），这里就不展开论述了，但是需要说明的一点是，这道题最简单的方法是使用“四点共圆”来解决。虽然“四点共圆”这种方法不能直接作为中考中的具体过程来写，很多学校也没有介绍过这种方法，但是在没有更好的解题思路的情况下，一来它可以作为一种“合适”的方法，明确问题的结果，另一方面，我们其实可以通过适当的论证，利用相似三角形，自己证明“四点共圆”的结论，从而形成正确，完整的解题过程。所以，后续学习中，要加强“四点共圆”这个方法的学习和应用，学会借助它简化问题，简化思考，得到结果。
08
第28题——新定义类函数动态压轴题
第28题，新定义类函数动态压轴题，也是本次考试中最难的一道试题了。跟往年历年的这类压轴题相比，今年的出题方式也算是稍微略难。难点就在于这道题是一个有关旋转的问题，而旋转是所有几何变化中最难想象的一种情况，它比平移、对称这两种变化都要难想明白一些，不好画图，也就不好分析问题了。2020年的第28题跟这个非常类似，也是线段进行变换之后，落在圆周上当弦，但是区别就在于2020年的28题，是平移（如下图），个人觉得，会相对简单一些。
2021年北京中考数学试卷整体分析
分析完2021年的北京数学中考试卷中的这些“关键题”，我们对于本次的试卷能够形成以下的三点认识：
（1）试卷难度整体偏简单，很多“关键题”都变成了“白给题”，但是压轴题最后一题难度稍大，满分估计不会太多，但是高分会比较集中。
“关键题”是学生在做题过程中遇到的一道道坎儿，他们会决定考生在考试时的节奏。回想堪称近十年最难的2019年北京中考数学，很多“高手”都是因为第16题、第22题（圆综，要自己画圆）、第23题（江湖人称“小云背诗”）打乱了做题的节奏，考场上直接就懵了，然后错了很多不该错的题，同时也浪费了很多时间，没来得及思考最后两道题，最后导致发挥完全失常。而2020年和2021年的这两年数学题，这些“关键题”肉眼可见的变简单了，一方面题会做了，分拿到了，另一方面做题速度变快了（有学生40分钟就做到了第26题），为思考最后的两道压轴题留下了充足的时间。满分高分的人数自然就“水涨船高”了。
（2）对于水平中上的学生而言，压轴题是争夺的关键。
往年的时候，一些“关键题”还可以成为区分分数的标的，能把一些水平不同的学生拉开一些分数，但是在今年“关键题”难度普遍简单的情况下，想要拉开分数，只能靠压轴题了。是100分，还是98（第28题最后一问写对一部分范围），还是97（第28题最后一问是否能做出来），还是95（除了第28题最后一问，第27题最后一问能否写出证明的过程）……基本上“高手们”在压轴题上失多少分，就会是整个卷面的失分了。
（3）总分也是高分扎堆，“容错率”变得极低。
虽然数学相对简单，但是毋庸置疑的是它依然是最难的一个学科，是北京中考所有学科中最“拉分”的一个学科。今年数学试卷难度比较低，直接导致的就是总分的升高。这对于部分“偏科”的学生来说，是非常不利的，任何一科的失误都可能导致满盘皆输。回想去年570-580（含加分）分段全市接近1500人，海淀368人，西城291人，东城238人……偏科的结果就是直接与名校“失之交臂”。
《北京中考数学进入“后疫情时代”》
那么最重要的，分析完2021年的中考数学试卷，我们立足2020年和2021年的中考，对于我们2022年接下来的备考会有什么启示？
最近一个词比较火，叫做“后疫情时代”。结合2020年和2021年的中考数学情况，说不定北京中考数学也要由此进入“后疫情时代”了。我给“后疫情时代”的北京中考数学定位为：相对简单、强调创新、考察能力、压轴区分。
在24号之前，很多的老师，包括我，对于今年数学试卷的预测都是不会太难，但也不会太简单。一方面肯定比2020年稍难，毕竟当时整个初三下学期都没有在校上课，学生们直接去参加中考，跟今年的学习情况明显有区别，另一方面肯定没有2019年难，呵呵，这个就不用多说了。所以，预估难度会回归到与2018年、2017年相当的水平，也就是“关键题”有区分，压轴题中规中矩。
但是很显然，这次“中考数学”在“关键题”上与这个预测相去甚远——“关键题”基本上可以说一马平川（除了第16题大家没做过类似的练习，觉得有点“卡壳”），区分度并不明显。
“后疫情时代”的北京中考数学，如果和2020年、2021年情况类似，我们应该如何进行数学学习呢？更具体的，对于初二学生而言，应该如何从现在开始，有计划、有针对性的备考2022年北京中考数学呢？
（1）一定要注重思维能力的训练。
北京中考数学最大的特色就是创新，每年的中考数学都必然会有一些背景新颖的创新型题目，比如今年的第16题，出题方式和角度都非常新颖，还比如今年的第26题，上文也提到了，这类题往往是以选择、填空的形式出现，主要就是考察学生对二次函数对称性的理解和应用，不要求写过程，了解即可，但是今年作为一道压轴题出现，明确要求写清楚求解过程，也就对学生的思维能力提出了更高的要求……这类题往往“难以捉摸”，什么“刷题”、“专题”练习往往没办法“把准它的脉”，唯有从根本上提高自身的思维能力，加深对知识点的理解和认识，才能真正做到“以不变应万变”。
（2）注重数学基本功的练习。
当试卷整体难度下降，容错率变得非常低时，对学生简单题、常规题提出了更高的要求——不能出错！如果考试中还会出现计算错误、看错题、读错数、画错图等等情况出现，一定要及时纠正，不能在简单题上有任何失分。很多学生会觉得所谓的这类“马虎”都是小问题，下次考试认真点就能解决，殊不知这其实是最要命的问题，所谓的“马虎”都是因为自己思维习惯、理解惯性等原因造成的，真正想要改起来“殊为不易”。只有先引起重视，真正认真对待起来，才能慢慢扭转错误习惯，夯实数学基本功，杜绝此类问题的出现。
（3）中考大纲被取消，学生一定要注重初中数学知识体系和解题方法的全面性。
今年北京中考不仅取消了《考试大纲》，甚至连《考试说明》也一并取消，这已经不是一个新鲜事了。取消这两本重要的备考指导“神器”，从两个侧面反映了近年来北京中考数学的命题导向：
①增加命题的灵活型和探究深度。没有了《大纲》和《说明》的限制，中考数学的命题不再受到任何限制，命题老师可以从初中数学知识体系的任何角度出发，以任何难度考察学生对该知识点的理解和掌握。
②增加试题的开放性和自由度。考前没有关于题型、分值分布的说明，命题老师也可以任意安排试题的结构和形式，给命题提供了更加宽广的空间。结合北京中考在试题创新上的努力，在命题形式上也变得更加自由。
试题越来来灵活，出题越来越“难以把握”，想要跟上北京中考数学改革的步伐，唯有以不变应万变，搭建全面的初中数学知识体系，掌握全面的解题方法和问题探究手段，才能“傲立潮头”，进而“笑傲江湖”。
（4）重视对压轴题解题能力的提升。
上文也提到了，高手之争主要集中在“压轴题”的得分上。在试卷整体难度降低的情况下，越来越多的学生在考试中有精力、有时间来处理最后三道压轴题了。所以，对自己有要求的同学，在解决基础题、常规题的基础上，要开始制定对压轴题解题能力的提升计划。压轴题能力提升，绝非一朝一夕之功。
以“几综压轴题”为例，首先要系统梳理此类压轴题的常见问题背景、常见条件的辅助线构造方法、常考模型的识别与应用。其次，要在练习过程中，深入思考，不断总结，积累经验，在做题中梳理，在梳理中熟练，把初中几何有关内容熔于一炉，进而达到对于压轴题“一题多解”再到“多题一解”的境界，才能对变化莫测、常考常新的“几综压轴题”做到心中有数，“兵来将挡水来土掩”。
而中考第28题，“新定义动态函数压轴题”，基本上是北京中考的“独创”，也是北京中考数学的“精髓”所在。不光市面上没有此类压轴题的学习书籍，其他省市的中考数学中都很难看到类似的试题。这类题非常“稀有”，在练习的过程中，每一道题都要认真思考、反复总结，明确每一道题能够带来的收获和经验，熟练应用诸如“化动为静”、“化繁为简”、“两动变一动”等等处理问题的手法和技巧，从而真正提高问题分析能力，“以不变应万变”。
2021年中考之后，
新初三的这个暑假应该怎么办
以上是大方向上对于如何准备初中数学的指导，细化到这个暑假，在具体的细节和行动上，新初三的学生又该如何安排呢？
（1）一定要利用好这个暑假来进行复习、查漏补缺。
我相信很多学校的老师已经提醒过孩子们：现在要把自己当做一个初三学生来准备中考了，这句话可是“金玉良言”，背后是老师多年经验的总结，但是我知道，很多学生和家长根本没有拿这句话当回事儿。初二结束的这个暑假，是中考前最后一个完整的假期了，而且时间还很长，拿这段时间来为自己的中考查漏补缺、填补窟窿实在是再好不过了。可以说只要认识到自身的问题，做好相应的规划安排，任何一个学生都可以在这个暑假完成一个数学学习上的“蜕变”。
①初一、初二学习的知识，说到底还是比较简单的，重难点有但是并不多，利用这个暑假完全可以完成上文中提到的夯实基础的工作。
②容易“马虎”出错的问题，也可以在这个暑假好好“治治”。这类问题本质上是思维的错误惯性导致的，它不涉及到知识点的学习，只与学生的思维习惯、读题习惯有关系，越早纠正这个问题，效果当然越好。
（2）利用暑假做好初三知识点的预习。
海淀这边大部分学校已经学到了初三上的二次函数章节，东城提前学习的是反比例函数……各个学校基本上都会提前学习，就是为了省出时间来备战中考。
而作为我们自身而言，也要对自己提出更高的要求，最好能利用这个暑假提前预习完整个初三的所有知识点，从容应对初三上学期的数学学习。
如果能在初步预习的基础上，适当做题巩固，甚至完成对上文中“关键题”的练习和突破，那将为后续的初三学习腾挪出更大的空间，初三的学习也会变得更加“游刃有余”。
（3）进行思维训练，提升压轴题解题能力。
中考试卷中“几综压轴题”的难度和所涉及的知识点，与我们初二期末考试中的“几综压轴题”基本一致，出题的背景、提问的方式、破题的方法、常见条件的辅助线构造、全等模型的应用和识别等等也都没有区别。所以，对于想在中考中取得高分的同学，利用暑假这个机会，系统性梳理“几综压轴题”的分析方法、解题技巧和条件处理的突破口，进一步提升自己分析、解决问题的能力，就显得尤为重要。
如果在暑假提前预习了圆的相关知识，那么中考第28题，“新定义类函数动态压轴题”也就没有了知识点上的障碍，完全可以在暑假的时间里，抽出时间练一练这类试题，先感受一下这类问题的强度和难度，至少做到“心中有数”。
最后，暑假时间长，每天抽点时间练一两道“几综压轴题”或者“新定义压轴题”，可以说是很“悠闲”的了，能在这种“悠闲”的时光中练习压轴题，也是中考前的最后一次机会了。