高三数学系

考生注意事项:

1.本卷满分为150分,考试时间为120分钟。

2.答题之前,请在答题纸指定区域填写学校、班级、姓名、考场号码、座位号码和准考证号码。

3.所有答案都要写在卷子上,写在试卷上无效。

4.考试结束后只需提交答案。

参考公式:

若事件A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)

若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)

若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

台体的体积公式:V=(S1++S2)h

其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高

柱体的体积公式:V=Sh

其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高

锥体的体积公式:V=Sh

其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高

球的表面积公式:S=4πR2

球的体积公式:V=πR3

共中R表示球的半径

第I卷(选择题部分,共40分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0<x<2},B={x|x2+4x-5>0},则AI(∁RB)等于

A.{x|0<x≤1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x<2} D.{x|-1≤x<2}

2.已知点(1,1)在直线x+2y+b=0的下方,则实数b的取值范围为

A.b>-3 B.b<-3 C.-3<b<0 D.b>0或b<-3

3.若a>b>0,m<0。则下列不等式成立的是

A.am2<bm2 B.>1 C. D.

4.已知sin(+α)=,则cos(-2α)=

A.- B. C.- D.

5.函数f(x)=(1-)cosx(其中e为自然对数的底数)的图象大致形状是

6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。现从中任意取出3台,若其中至少含有两种不同的型号,则不同的取法共有

A.96种 B.108种 C.114种 D.118种

7.设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1<a2<a1,则

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.数列{Sn}有最大项 D.数列{Sn}有最小项

8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点,若直线D1P与平面BEF无公共点,则点P的轨迹长度为

A.+1 B. C.+ D.

9.已知a∈R,函数f(x)=ln2x+(2a2+x)lnx+a4的最小值为g(a),则g(a)的最小值为

A.- B.- C.-e D.-

10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=a(a>2),(n∈N*),给出下列三个结论:①若k=1,则数列{an}仅有有限项;②若k=2,则数列{an}单调递增;③若k=2,则对任意的M>0,都存在n0∈N*,使得>M成立。则上述结论中正确的为

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

第II卷(非选择题部分,共110分)

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

11.已知复数z=i(2i-1)(i是虚数单位),则z的虚部为 ,|z|= 。

12.等差数列{an}满足a1=6a4,a1+a5=2a2+10,则公差d= ,其前n项和的最小值为 。

13.已知函数f(x)=(a>0且a≠1)。(1)若a=2,则f(f(1))= ;(2)若函数f(x)的值域是(∞,4],则实数a的取值范围是 。

14.已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a0+a2+a4的值为 。

15.已知x>0,y>0,2x+y=2,则的最大值为 。

16.已知平面向量,,满足:||=2,||=1,·=l,2-(-)·+=0,则|-|= ,|-|的取值范围是 。

17.如图,已知三个两两互相垂直的半平面α,β,γ交于点O,矩形ABCD的边BC在半平面γ内,顶点A,D分别在半平面α,β内,AD=2,AB=3,AD与平面α所成角为,二面角A-BC-O的余弦值为,则同时与半平面α,β,γ和平面ABCD都相切的球的半径为 。

三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分14分)已知函数f(x)=2sinxcosx-cos(2x+)。

(I)求函数y=f(x)的单调递增区间:

(II)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c-a,求f(B)的取值范围。

19.(本题满分15分)如图,在三枝柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=1,AC=,BB1=2,DC=DC=,平面CC1D⊥平面ACC1A1。

(I)若点M为棱CC1的中点,求证:DM//平面AA1B1B;

(II)已知点P是线段BC上靠近C的三等分点,求直线DP与平面BB1D所成角的正弦值。

20.(本题满分15分)已知数列{an}满足a1=0,且an+1=(n∈N*)。

(I)求证:数列{}是等差数列:

(II)记bn=(-1)n+1(2-an-an+1),数列{bn}的前n项和为Tn,若存在n∈N*,使得λ>Tn成立,求实数λ的取值范围。

21.(本题满分15分)已知函数f(x)=1+a-(a≠0)。

(I)若f(x)的图象在x=1处的切线l的斜率为,求直线l的方程:

(II)若对于任意的x∈[0,2],f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围。

22.(本题满分15分)已知函数f(x)=+x(a∈R)。

(I)若a=1,求证:当x>0时,x(f(x)-x)<;

(II)讨论方程f(x)=2的根的个数。